2021/01/18

FIR 濾波器

Finite Impulse Response Filter: FIR 濾波器是線性時間不變性 Linear Time-Invariant LTI 系統,而且是因果系統 (causal system) (輸出的訊號只根據目前與過去的訊號運算得來)。

FIR Filter

前面討論過移動平均濾波器 (Moving Average Filter),有兩種定義方式:

  1. \(y[n]=\frac{1}{3}(x[n]+x[n+1]+x[n+2])\) ,包含未來的訊號,屬於非因果系統
  2. \(y[n]=\frac{1}{3}(x[n]+x[n-1]+x[n-2])\) ,計算結果跟上面一樣,差異是輸出訊號的時間會比較慢,這個是因果系統,比較適合即時性 DSP應用

FIR Filter 定義:

假設輸入訊號 x[n],輸出訊號 y[n],則 FIR Filter 為

\(y[n]=\sum_{k=0}^{M}b_kx[n-k] = b_0x[n]+b_1x[n-1]+...+b_Mx[n-M]\)

其中 \(b_k, k=0,1,...M\) 稱為 FIR 的係數,M 稱為濾波器的階數 Order

輸出訊號是目前訊號跟過去M個訊號的加權平均(weighted average) 運算而得。FIR Filter 是 causal system 適合即時性的 DSP 應用。

因為 FIR 必須等到 M+1 個輸入訊號後,才能開始輸出訊號,故須具備足夠的記憶能力。


假設 \(x[n]=δ[n]\) 單位脈衝 unit impulse

FIR filter 為 \(y[n]=\sum_{k=0}^{M}b_k \cdot x[n-k] = \sum_{k=0}^{M}b_k \cdot δ[n-k] = b_0δ[n]+b_1δ[n-1]+...+b_Mδ[n-M]\)

若計算 z 轉換

\(Y(z) = Z\{y[n]\} = Z\{\sum_{k=0}^{M}b_k \cdot x[n-k]\} \\ = Z\{b_0δ[n]+b_1δ[n-1]+...+b_Mδ[n-M]\} \\ = Z\{b_0δ[n]\}+Z\{b_1δ[n-1]\}+...+Z\{b_Mδ[n-M]\} \\ = b_0Z\{δ[n]\}+b_1Z\{δ[n-1]\}+...+b_MZ\{δ[n-M]\} \\ = b_0X(z)+b_1z^{-1}X(z)+...+b_Mz^{-M}X(z) \\ = (b_0+b_1z^{-1}+...+b_{M}z^{-M})X(z)\)

FIR Filter 的轉換函式為

\(H(z)=(b_0+b_1z^{-1}+...+b_{M}z^{-M})\)

在複數平面上,FIR filter 只有零點 zeros 沒有極點 poles,因此 FIR filter 為穩定系統。


DSP 系統常會以方塊圖的型態表示,基本建構元件為:加法器 adder、乘法器 multiplier、單位延遲 unit delay

根據 FIR 的定義 \(y[n]=\sum_{k=0}^{M}b_kx[n-k]\)

z轉換 \(Y(z)=(b_0+b_1z^{-1}+...+b_{M}z^{-M})X(z)\)

FIR 濾波器的系統方塊圖為

FIR Filter 的應用

移動平均濾波、股價趨勢分析、歸零濾波器

移動平均濾波

moving average filter 是最簡單的 FIR filter

\(b_k={\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}}, k=0,1,2\) 階數為 2

使用 SciPy 的 lfilter 實作 moving average filter

import numpy as np
import scipy.signal as signal

x = np.array( [ 1, 2, 4, 3, 2, 1, 1 ] )
b = np.ones( 3 ) / 3
y = signal.lfilter( b, 1, x )

print( "x =", x )
print( "y =", y )

執行結果

$ python FIR_example.py
x = [1 2 4 3 2 1 1]
y = [0.33333333 1.         2.33333333 3.         3.         2. 1.33333333]

股價趨勢分析

將股價趨勢當作數位訊號,套用 FIR filter 可產生均線,觀察股價走勢,如果平均天數為 5,可產生 5 日均線(也就是週線),如果平均天數為20,可產生月線

股價趨勢分析常用 5日均線(週線)、10日均線、20日均線(月線)、60日均線(季線)

到 Yahoo Finance 下載 TSM 的股價走勢 csv 資料,裡面有七個欄位

日期Date,開盤價Open,最高價High,最低價Low,收盤價Close,調整收盤價Adj Close,交易量Volume

import numpy as np
import csv
import scipy.signal as signal
import matplotlib.pyplot as plt

csvDataFile = open( 'TSM.csv' )
reader = csv.reader( csvDataFile )

data = []                           # 讀取收盤價資料
for row in reader:
    data.append( row[4] )

price = []                          # 去掉第一行的資料,將收盤價轉換為股價數值
for i in range( 1, len( data ) ):
    price.append( eval( data[i] ) )

day = np.arange( len( price ) )
x = np.array( price )               # 轉換成陣列

b1 = np.ones( 5 ) / 5               # 週線
y1 = signal.lfilter ( b1, 1, x )

b2 = np.ones( 20 ) / 20             # 月線
y2 = signal.lfilter ( b2, 1, x )

# 替換中文字型,處理 matplotlib 中文 label 問題
# https://blog.csdn.net/gmr2453929471/article/details/78655834
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Heiti TC'] # 步驟一(替換sans-serif字型)
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 步驟二(解決座標軸負數的負號顯示問題)

plt.figure( 1 )                     # 繪圖
plt.subplot(131)
plt.plot( day, x, '-', fillstyle = 'bottom' )
plt.xlabel( 'Day' )
plt.ylabel( 'Price' )
plt.axis( [ 0, len( price), 28, 45 ] )

# plt.figure( 2 )
plt.subplot(132)
plt.plot( day, x, '--', day, y1, '-' )
plt.xlabel( 'Day (週線)' )
plt.ylabel( 'Price' )
plt.axis( [ 0, len( price), 28, 45 ] )

# plt.figure( 3 )
plt.subplot(133)
plt.plot( day, x, '--', day, y2, '-' )
plt.xlabel( 'Day (月線)' )
plt.ylabel( 'Price' )
plt.axis( [ 0, len( price), 28, 45 ] )

plt.show()

歸零濾波器

Nulling Filter,用來消除某個特定頻率的濾波器,也稱為陷波濾波器 Notch Filter

因為 FIR Filter 在 z 轉換後,會產生 zeros,可以使得某個特定頻率歸零,適合用來消除特定干擾訊號 Jamming Signals。例如來自電源線的干擾訊號,通常是 60Hz 的弦波訊號,可在 DSP 中,加入 Nulling Filter 消除特定頻率的干擾訊號。

假設想要消除的干擾訊號定義為

\(\hat{x} = cos(\hat{ω}t)\) ,其中 \(\hat{ω}\) 是干擾訊號的角頻率,且 \(\hat{ω} = 2 \pi \hat{f}\)

假設取樣頻率為 \(f_s\),則干擾訊號的數位訊號可定義為

\(\hat{x}[n]=cos(2\pi\hat{f}n/f_s)\)

根據反尤拉公式

\(cos(2\pi\hat{f}n/f_s) = \frac{1}{2}(e^{j2\pi\hat{f}n/f_s}+e^{-j2\pi\hat{f}n/f_s})\)

可用兩個一階的 FIR filter 串聯成二階 FIR filter,藉以消除這兩個複數指數訊號

(

因為 FIR Filter 的轉換函式為 \(H(z)=(b_0+b_1z^{-1}+...+b_{M}z^{-M})\)

取M=1,就是一階濾波器 \(H(z)=b_0+b_1z^{-1}\)

)

因此二階 FIR filter 要設計為包含兩個零點:

\(z_1= e^{j2\pi\hat{f}n/f_s}\) , \(z_2= e^{-j2\pi\hat{f}n/f_s}\)

對應的一階 FIR filter 分別為

\(H_1(z) = 1-z_1z^{-1}\), \(H_2(z)=1-z_2z^{-1}\)

串聯後得到的二階濾波器為

\(H(z) = H_1(z)H_2(z) = (1-z_1z^{-1})(1-z_2z^{-1}) \\ = 1-(z_1+z_2)z^{-1} + (z_1z_2)z^{-2} \\ = 1-(e^{j2\pi\hat{f}n/f_s}+e^{-j2\pi\hat{f}n/f_s})z^{-1} + (e^{j2\pi\hat{f}n/f_s}e^{-j2\pi\hat{f}n/f_s}) z^{-2} \\ = 1-2cos(2\pi\hat{f}n/f_s)z^{-1}+z^{-2} \)


ex: 輸入訊號 \(x(t)=cos(2\pi\cdot10\cdot t)+cos(2\pi\cdot20\cdot t)\)

假設 \(cos(2\pi\cdot10\cdot t)\) 是原始訊號,另一個是干擾訊號,取樣頻率為 100 Hz,設計一個 Nulling Filter

因為干擾訊號的頻率 \(\hat{f}=20Hz\) 取樣頻率 100,剛剛知道Nulling Filter 二階濾波器轉換函式為

\(H(z)=1-2cos(2\pi \hat{f} n/f_s)z^{-1}+z^{-2}\)

分別代入 \(\hat{f}, f_s\)

\(H(z)=1-2cos(2\pi \cdot 20 \cdot n/100)z^{-1}+z^{-2}\)

套用 Nulling Filter 後,輸出訊號會發生時間延遲的現象。

import numpy as np
import scipy.signal as signal
import matplotlib.pyplot as plt

fs = 100
t = np.linspace( 0, 1, fs, endpoint = False )   # 定義時間陣列
x1 = np.cos( 2 * np.pi * 10 * t )               # 原始訊號
x2 = np.cos( 2 * np.pi * 20 * t )               # 干擾訊號
x = x1 + x2                                     # 輸入訊號

b = np.array( [ 1, -2 * np.cos( 2 * np.pi * 20 / fs ), 1 ] )
y = signal.lfilter( b, 1, x )                   # FIR濾波, Nulling Filter

# plt.figure( 1 )                                   # 繪圖
plt.subplot(121)
plt.plot( t, x )
plt.xlabel( 't (second)' )
plt.ylabel( 'Amplitude' )
plt.axis( [ 0, 1, -2, 2 ] )

# plt.figure( 2 )
plt.subplot(122)
plt.plot( t, x1, '--', t, y, '-' )
plt.xlabel( 't (second)' )
plt.ylabel( 'Amplitude' )
plt.axis( [ 0, 1, -2, 2 ] )

plt.show( )

References

數位訊號處理:Python程式實作(附範例光碟)(第二版)

2021/01/11

z 轉換

z Transform 用來將離散的數位訊號表示成複數指數函數的數學工具。以下討論 z transform,並用 z 轉換求 LTI 系統的轉換函式,並求零點與極點等參數,分析 LTI 系統的特性,最後說明反 z 轉換。

z轉換

z轉換 源自 Laplace Transform (適用於分析連續時間域的函數),適用於離散時間域 discrete time domain 的數位訊號分析。跟離散時間傅立葉轉換 DTFT 比較,z轉換提供更廣義的訊號表示法,可用來分析 DSP 系統的操作特性。

DTFT 是針對絕對可加總序列(Absolute Summable Sequence) 進行轉換,僅適合用來分析穩定的 LTI 系統, z 轉換應用範圍較廣,也可分析不穩定的 LTI 系統。


給定離散序列 x[n],z轉換定義為:

​ \(X(z)=Z\{x[n]\}=\sum_{n=-∞}^{∞}x[n]z^{-n}\)

反z轉換定義為:

​ \(x[n]=Z^{-1}\{X(z)\} = \frac{1}{2πj} \oint_CX(z)z^{n-1}dz\) 其中 C 是包含原點的逆時針封閉路徑,落在收斂區域中。


z轉換是將離散時間域 (discrete-time domain) 的序列 x[n],轉換成 z domain 的函數 X(z)。\(Z\{\}\) 代表 z 轉換。z 轉換符合可逆性,可用反 z 轉換將 X(z) 還原為 x[n]。

跟 discrete-time fourier transform (DTFT) 的公式比較

​ \( X(e^{jω}) = \sum_{n=-∞}^{∞}x[n]e^{-jωn} \)

可發現到 \(z=e^{jw}\)

z轉換就是 DTFT 的另一種表示法。


收斂區域 Region of Convergence (ROC)

就是使得 z 轉換收斂的複數平面的 z 點集合,定義為

\( ROC = \{z: |\sum_{n=-∞}^{∞}x[n]z^{-n}|<∞\} \)

其中 C 是包含原點的逆時針封閉路徑,落在收斂區域中。


ex: 求單位脈衝 δ[n] 的 z 轉換,並決定其收斂區域 ROC

單位脈衝的定義:\( δ[n] = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & \mbox{if n=0} \\ 0, & \mbox{if n≠0} \end{array} \right.\)

\(Z\{δ[n]\}=\sum_{n=-∞}^{∞}δ[n]z^{-n} = δ[0]z^{-0} = 1\)

ROC 為複數平面上所有 z 點集合


ex: 求單位步階 𝜇[n] 的轉換及其收斂區域

單位步階的定義:\( 𝜇[n] = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & \mbox{if t≥0} \\ 0, & \mbox{if t<0} \end{array} \right.\)

\(Z\{𝜇[n]\}=\sum_{n=-∞}^{∞}𝜇[n]z^{-n} = \sum_{n=0}^{∞}z^{-n} = \frac{1}{1-z^{-1}}\)

ROC 為 \( |z^{-1}|<1 \) 或 \( |z|>1\)


ex: 給定單位脈衝時間延遲 δ[n-k] ,其中 k>0,求 z 轉換及其 ROC

\(Z\{δ[n-k]\}=\sum_{n=-∞}^{∞}δ[n-k]z^{-n} = z^{-k}\)

ROC 為複數平面上除了原點以外的所有 z 點集合


ex: 數位訊號 \(x={x[n]}, n=1,2,3,4,5\) 或 \(x={1,2,4,3,2,1}\) ,求z轉換及 ROC

\(X(z)=Z\{x[n]\}=\sum_{n=-∞}^{∞}x[n]z^{-n} \\ = 1 + 2z^{-1}+ 4z^{-2}+ 3z^{-3}+ 2z^{-4}+ z^{-5}\)

ROC 為複數平面上除了原點以外的所有 z 點集合


ex: 數位訊號\(x[n] = (0.5)^n 𝜇[n]\) ,求z轉換及其 ROC

\(X(z)=Z\{x[n]\}=\sum_{n=-∞}^{∞}x[n]z^{-n} \\ = \sum_{n=-∞}^{∞}(0.5)^n𝜇[n]z^{-n} \\ = \sum_{n=0}^{∞}(0.5)^nz^{-n} \\ = \sum_{n=0}^{∞}(0.5z^{-1})^{n} \\ = \frac{1}{1-0.5z^{-1}}\)

要讓無窮等比級數收斂的條件是 \(|r|<1\),因此

ROC 為 \(|0.5z^{-1}|<1\) 或 \(|z|>0.5\)


常見的 z 轉換對應表

離散序列 z轉換 ROC
δ[n] 1 all z
δ[n-k] \(z^{-k}\) z≠0, k>0
𝜇[n] \(\frac{1}{1-z^{-1}}\) 或 \(\frac{z}{z-1}\) $
-𝜇[-n-1] \(\frac{1}{1-z^{-1}}\) 或 \(\frac{z}{z-1}\) $
\(a^n𝜇[n]\) \(\frac{1}{1-az^{-1}}\) 或 \(\frac{z}{z-a}\) $
\(-a^n𝜇[-n-1]\) \(\frac{1}{1-az^{-1}}\) 或 \(\frac{z}{z-a}\) $
\(n𝜇[n]\) \(\frac{z^{-1}}{(1-az^{-1})^2}\) 或 \(\frac{z}{(z-1)^2}\) $
\(n^2𝜇[n]\) \(z^{-1}\frac{(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^3}\) 或 \(\frac{z(z+1)}{(z-1)^3}\) $
\(e^{-an}\) \(\frac{1}{1-e^{-a}z^{-1}}\) 或 \(\frac{z}{z-e^{-a}}\) $
\(sinω_0n\) \(\frac{z sinω_0}{z^2-2zcosω_0+1}\) $
\(cosω_0n\) \(\frac{z(z-cosω_0)}{z^2-2zcosω_0+1}\) $

z轉換的性質

線性運算原則

\(Z\{αx_1[n]+βx_2[n]\} = αX_1(z) + βX_2(z)\)

證明:

\(Z\{αx_1[n]+βx_2[n]\} = \sum_{n=-∞}^{∞}(αx_1[n]+βx_2[n])z^{-n} \\ = α \sum_{n=-∞}^{∞}x_1[n]z^{-n}+β\sum_{n=-∞}^{∞}x_2[n]z^{-n} \\ = αZ\{x_1[n]\} + βZ\{ x_2[n] \} \\ = αX_1(z) + βX_2(z)\)

時間延遲

若 x[n] 的 z 轉換為 X(z),時間延遲 x[n-k] 的 z 轉換為

\(Z\{x[n-k]\}=z^{-k}X(z)\)

證明:

\(Z\{x[n-k]\} = \sum_{-∞}^{∞}x[n-k]z^{-n} \\ = \sum_{j=-∞}^{∞}x[j]z^{-(j+k)} \quad\quad 假設 j=n-k, n=j+k \\ = \sum_{j=-∞}^{∞}x[j]z^{-j}z^{-k)} \\ = z^{-k} \sum_{j=-∞}^{∞}x[j]z^{-j} \\ = z^{-k} X(z)\)

轉換函式

LTI 系統方塊圖

\(y[n]=h[n]*x[n]\) 其中 \(h[n]\) 稱為脈衝響應 (Impulse Response)

卷積定理也成立:

\(Z\{y[n]\} = Z\{h[n]*x[n]\} = Z\{h[n]\} \cdot Z\{x[n]\}\)

或 \(Y(z) = H(z) * X(z)\)

因此轉換函式(Transform Function) 或 系統函式 (System Function)可表示為

\(H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)}\)

零點與極點

LTI 的轉換函式,可以用有理式函數 (Rational Function) 的型態表示,讓分子與分母都是 \(z^{-1}\) 的多項式函數

\(H(z) = \frac{b_0+b_1z^{-1}+...+b_Mz^{-M}}{a_0+a_1z^{-1}+...+a_Nz^{-N}}\) 其中的係數包含 \(\{a_k\}, k=0,1,2,...N\) 與 \(\{b_k\}, k=0,1,2,...M\)

系統的轉換函式可因式分解為:

\(H(z) = \frac{b_0}{a_0}z^{N-M}\frac{\prod_{l=1}^{M}(z-z_l)}{\prod_{l=1}^{N}(z-p_l)}\)

讓分子多項式為 0 的所有根,也就是 \(z=z_l, l=1,2,...M\) ,稱為零點 Zeros

讓分母多項式為 0 的所有根,也就是\(z=p_l, l=1,2,...N\),稱為極點 Poles

\(\frac{b_0}{a_0}\) 稱為系統的增益 gain


ex: 如 LTI 系統的轉換函式定義為 \(H(z)=\frac{1}{1-z^{-1}}\) ,求收斂區域、零點、極點

\(H(z)=\frac{1}{1-z^{-1}} = \frac{z}{z-1}\)

ROC 為 \(|z|>1 \),零點為 z=0 (讓分子為0), 極點為 z=1 (讓分母為0)


定理:穩定系統與極點

若 LTI 系統的轉換函式 H(z) 可表示成有理式函數,則 LTI 系統為穩定系統,若且惟若 H(z) 的所有極點都落在複數平面的單位圓內。

換句話說:LTI 要是穩定系統的充要條件為:LTI 的轉換函式,所有極點都要落在複數平面的單位圓內。若條件不成立,則構成不穩定的 LTI 系統。上面範例中,極點落在單位圓上,因此是不穩定系統。


ex: 轉換函式 \(H(z) = \frac{0.8-0.16z^{-1}-0.64z^{-2}}{1-0.2z^{-1}-0.2z^{-2}+z^3}\) ,求系統的零點、極點、增益

可使用 SciPy Signal 的 tf2zpk (Transfer Funciton to Zeros, Poles, Gain)

import numpy as np
import scipy.signal as signal
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import patches
from matplotlib.markers import MarkerStyle

def zplane(z, p):
    fig = plt.figure( )
    ax = plt.subplot( 1, 1, 1 )

    # 單位圓
    unit_circle = patches.Circle( ( 0,0 ), radius = 1, fill = False, color = 'black', ls = 'dashed' )
    ax.add_patch( unit_circle )

    # 軸線
    plt.axvline( 0, color = 'black' )
    plt.axhline( 0, color = 'black' )
    # 橫軸 -2~2
    plt.xlim( ( -2, 2 ) )
    # 縱軸 -1.5 ~ 1.5
    plt.ylim( ( -1.5, 1.5 ) )
    plt.grid( )

    # 畫上 zeros, ko 為圓圈
    plt.plot( z.real, z.imag, 'ko', fillstyle = 'none', ms = 12 )
    # 畫上 poles, ko 為叉叉
    plt.plot( p.real, p.imag, 'kx', fillstyle = 'none', ms = 12 )
    return fig

def main( ):
    # 分子的係數
    b = np.array( [ 0.8, -0.16, -0.64 ] )
    # 分母的係數
    a = np.array( [ 1, -0.2, -0.2, 1 ] )

    # 用 tf2zpk 找到 zeros, poles, gain
    z, p, k = signal.tf2zpk( b, a )

    print( "Zeros =", z )
    print( "Poles =", p )
    print( "Gain =", k )

    zplane( z, p )
    plt.show( )

main( )

執行結果

$ python tf2zpk.py
Zeros = [ 1.  -0.8]
Poles = [ 0.6+0.8j  0.6-0.8j -1. +0.j ]
Gain = 0.8


反過來可用 zp2tf,根據零點及極點,找到轉換函式的係數

import numpy as np
import scipy.signal as signal

z = np.array( [ -0.8, 1 ] )
p = np.array( [ 0.6 + 0.8j, 0.6 - 0.8j, -1 ] )
k = 0.8

b, a = signal.zpk2tf( z, p, k )

print( "Numerator Polynomial Coefficients =", b )
print( "Denominator Polynomial Coefficients =", a )

執行結果

$ python zp2tf.py
Numerator Polynomial Coefficients = [ 0.8  -0.16 -0.64]
Denominator Polynomial Coefficients = [ 1.  -0.2 -0.2  1. ]

反z轉換

反z轉換定義為:

​ \(x[n]=Z^{-1}\{X(z)\} = \frac{1}{2πj} \oint_CX(z)z^{n-1}dz\) 其中 C 是封閉曲線,落在收斂區域中。

雖然公視是使用封閉曲線積分,實際的反z轉換運算,會採用以下三種方法:

  1. 長除法 long division method
  2. 部分分式展開法 partial fraction expansion method
  3. 餘數法 residue method

長除法

訊號或系統的 z 轉換,通常表示成兩個多項式相除的型態,因此可表示成幂級數 Power Series:

\(X(Z) = \frac{N(z)}{D(z)} = \sum_{n=0}^{∞}a_nz^{-n} = a+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}+....\)

其中 N(z) 是 Numerator 分子多項式,D(z) 是 Denominator 分母多項式。

求反 z 轉換時,可以使用長除法求幂級數的係數


ex: 訊號的 z 轉換函式如下,求 反 z 轉換

\(X(z)=\frac{1+z^{-1}+2z^{-2}-z^{-3}+3z{-4}}{1-z^{-1}+z^{-2}}\)

\(\begin{split} \\ &\underline {\ 1 \ +2^z{-1} \ +3^{z-2} \ } \\ 1 \ -z^{-1} \ +z^{-2}\big)& 1 \ +z^{-1} \ +2z^{-2} \ -z^{-3} \ +3z^{-4}\ \\ &\underline{1 \ -z^{-1} \ +z^{-2}\ \ \ \ \ \ }\ \\ & \ \ \ \ 2z^{-1} \ +z^{-2} \ -z^{-3} \ \ \\ &\underline{\ \ \ \ 2z^{-1} \ -2z^{-2} \ +2z^{-3}\ \ \ \ \ \ }\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3z^{-2} \ -3z^{-3} \ +3z^{-4} \ \ \\ &\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3z^{-2} \ -3z^{-3} \ +3z^{-4}\ \ \ \ \ \ }\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \\ \end{split}\)

因此 X(z) 可化簡為 \(X(z) = 1+2z^{-1}+3z^{-2}\)

求反 z 轉換可得下列結果:

\(x[n]=Z^{-1}\{X(z)\} = Z^{-1}\{1+2z^{-1}+3z^{-2}\} = δ[n]+2δ[n-1]+3δ[n-2]\)

或 \(x[n]=\{1,2,3\}\)


若X(z) 定義為 \( X(z) = \frac{b_0+b_1z^{-1}+...+b_Mz^{-M}}{a_0+a_1z^{-1}+...+a_Nz^{-N}}\)

長除法可用遞迴方法計算:

\(x[n]=[b_n-\sum_{i=1}^{n}x[n-i]a_i]/a_0, n=1,2,...\) ,其中 \(x[0]=b_0/a_0\)

import numpy as np

b = np.array( [ 1, 1, 2, -1, 3 ] )
a = np.array( [ 1, -1, 1, 0, 0 ] )

M = b.size
N = a.size
x = np.zeros( M )
x[0] = b[0] / a[0]
for n in range( 1, M ):
    sum = 0
    k = n
    if n > N:
        k = N
    for i in range( 1, k + 1 ):
        sum = sum + x[n-i] * a[i]
    x[n] = ( b[n] - sum ) / a[0]

print( x )

執行結果

$ python long_division.py
[1. 2. 3. 0. 0.]

部分分式展開法

如果 z 轉換中的分母多項式 D(z) 可進一步因式分解,則可使用部分分式展開法求反z轉換

ex: 訊號的 z 轉換 \(X(z)=\frac{1}{1-3z^{-1}+2z^{-2}}\) ,求反z轉換

分母可分解為 \((1-z^{-1})(1-2z^{-1})\)

因此可假設 \(X(z)=\frac{1}{1-3z^{-1}+2z^{-2}}= \frac{A}{1-z^{-1}} + \frac{B}{1-2z^{-1}}\)

A, B 為常數。通分後可得

\(1=A(1-2z^{-1})+B(1-z^{-1})\)

假設 \(z=1\),則 \(1=A(1-2)+B(1-1) \Rightarrow A=-1\)

假設 \(z=2\),則 \(1=A(1-1)+B(1-1/2) \Rightarrow B=2\)

因此 \(X(z)= \frac{-1}{1-z^{-1}} + \frac{2}{1-2z^{-1}}\)

求反z轉換

\( x[n]=Z^{-1}\{X(z)\} = Z^{-1} \{ \frac{-1}{1-z^{-1}} + \frac{2}{1-2z^{-1}} \} \quad\quad 查表 \\ = -𝜇[n]+2 \cdot (2)^n𝜇[n] = [-1+2^{n+1}]𝜇[n]\)

餘數法

反z轉換定義為:

​ \(x[n]=Z^{-1}\{X(z)\} = \frac{1}{2πj} \oint_CX(z)z^{n-1}dz\) 其中 C 是包含 X(z) 所有極點的封閉曲線,落在收斂區域中。餘數法根據複變分析的柯西餘數定理 Cauchy's Residue Theorem。

柯西餘數定理 Cauchy's Residue Theorem:

\(x[n]=Z^{-1}\{X(z)\} = \frac{1}{2πj} \oint_CX(z)z^{n-1}dz \\ = 封閉曲線C內所有極點,取 z^{n-1}X(z) 的餘數總和\)

若 X(z) 某個極點 \(P_k\),則該極點的餘數 Residue 為:

\( Residue[F(z), P_k] = (z-P_k)F(z)|_{z=P_k} = (z-P_k)z^{n-1}X(z)|_{z=P_k} \)

其中 \(F(z)=z^{n-1}X(z)\)


若訊號 z 轉換函式為 \(X(z)= \frac{z}{(z-0.75)(z+0.5)}\),求反z轉換

因為 \( z=0.75, z= -0.5 \) 讓分母為 0,是 X(z) 的極點

當 \(z=0.75 (P_1=0.75)\) 時

\(Residue[F(z), P_1] = \\ =(z-P_1)z^{n-1}X(z)|_{z=P_1} \\ = (z-0.75)z^{n-1} \frac{z}{(z-0.75)(z+0.5)}|_{z=0.75} \\ = \frac{z^n}{(z+0.5)}|_{z=0.75} = \frac{(0.75)^n}{(0.75+0.5)} = \frac{4}{5}(0.75)^n \)

當 \(z=-0.5 (P_1=-0.5)\) 時

\(Residue[F(z), P_2] = \\ =(z-P_2)z^{n-1}X(z)|_{z=P_2} \\ = (z+0.5)z^{n-1} \frac{z}{(z-0.75)(z+0.5)}|_{z=-0.5} \\ = \frac{z^n}{(z-0.75)}|_{z=-0.5} = \frac{(-0.5)^n}{(-0.5-0.75)} = -\frac{4}{5}(-0.5)^n \)

根據柯西餘數定理,反z轉換為餘數總和:

\(x[n] = Residue[F(z), P_1] + Residue[F(z), P_2]\) 因此反z轉換為

\(x[n]=[\frac{4}{5}(0.75)^n-\frac{4}{5}(-0.5)^n]𝜇[n]\)

References

數位訊號處理:Python程式實作(附範例光碟)(第二版)