Maxkit: z 轉換

z Transform 用來將離散的數位訊號表示成複數指數函數的數學工具。以下討論 z transform，並用 z 轉換求 LTI 系統的轉換函式，並求零點與極點等參數，分析 LTI 系統的特性，最後說明反 z 轉換。

z轉換

z轉換源自 Laplace Transform (適用於分析連續時間域的函數)，適用於離散時間域 discrete time domain 的數位訊號分析。跟離散時間傅立葉轉換 DTFT 比較，z轉換提供更廣義的訊號表示法，可用來分析 DSP 系統的操作特性。

DTFT 是針對絕對可加總序列(Absolute Summable Sequence) 進行轉換，僅適合用來分析穩定的 LTI 系統， z 轉換應用範圍較廣，也可分析不穩定的 LTI 系統。

給定離散序列 x[n]，z轉換定義為：

$X(z)=Z\{x[n]\}=\sum_{n=-∞}^{∞}x[n]z^{-n}$

反z轉換定義為：

$x[n]=Z^{-1}\{X(z)\} = \frac{1}{2πj} \oint_CX(z)z^{n-1}dz$ 其中 C 是包含原點的逆時針封閉路徑，落在收斂區域中。

z轉換是將離散時間域 (discrete-time domain) 的序列 x[n]，轉換成 z domain 的函數 X(z)。 $Z\{\}$ 代表 z 轉換。z 轉換符合可逆性，可用反 z 轉換將 X(z) 還原為 x[n]。

跟 discrete-time fourier transform (DTFT) 的公式比較

$X(e^{jω}) = \sum_{n=-∞}^{∞}x[n]e^{-jωn}$

可發現到 $z=e^{jw}$

z轉換就是 DTFT 的另一種表示法。

收斂區域 Region of Convergence (ROC)

就是使得 z 轉換收斂的複數平面的 z 點集合，定義為

$ROC = \{z: |\sum_{n=-∞}^{∞}x[n]z^{-n}|<∞\}$

其中 C 是包含原點的逆時針封閉路徑，落在收斂區域中。

ex: 求單位脈衝 δ[n] 的 z 轉換，並決定其收斂區域 ROC

單位脈衝的定義： $δ[n] = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & \mbox{if n=0} \\ 0, & \mbox{if n≠0} \end{array} \right.$

$Z\{δ[n]\}=\sum_{n=-∞}^{∞}δ[n]z^{-n} = δ[0]z^{-0} = 1$

ROC 為複數平面上所有 z 點集合

ex: 求單位步階 𝜇[n] 的轉換及其收斂區域

單位步階的定義： $𝜇[n] = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & \mbox{if t≥0} \\ 0, & \mbox{if t<0} \end{array} \right.$

$Z\{𝜇[n]\}=\sum_{n=-∞}^{∞}𝜇[n]z^{-n} = \sum_{n=0}^{∞}z^{-n} = \frac{1}{1-z^{-1}}$

ROC 為 $|z^{-1}|<1$ 或 $|z|>1$

ex: 給定單位脈衝時間延遲 δ[n-k] ，其中 k>0，求 z 轉換及其 ROC

$Z\{δ[n-k]\}=\sum_{n=-∞}^{∞}δ[n-k]z^{-n} = z^{-k}$

ROC 為複數平面上除了原點以外的所有 z 點集合

ex: 數位訊號 $x={x[n]}, n=1,2,3,4,5$ 或 $x={1,2,4,3,2,1}$ ，求z轉換及 ROC

$X(z)=Z\{x[n]\}=\sum_{n=-∞}^{∞}x[n]z^{-n} \\ = 1 + 2z^{-1}+ 4z^{-2}+ 3z^{-3}+ 2z^{-4}+ z^{-5}$

ROC 為複數平面上除了原點以外的所有 z 點集合

ex: 數位訊號 $x[n] = (0.5)^n 𝜇[n]$ ，求z轉換及其 ROC

$X(z)=Z\{x[n]\}=\sum_{n=-∞}^{∞}x[n]z^{-n} \\ = \sum_{n=-∞}^{∞}(0.5)^n𝜇[n]z^{-n} \\ = \sum_{n=0}^{∞}(0.5)^nz^{-n} \\ = \sum_{n=0}^{∞}(0.5z^{-1})^{n} \\ = \frac{1}{1-0.5z^{-1}}$

要讓無窮等比級數收斂的條件是 $|r|<1$ ，因此

ROC 為 $|0.5z^{-1}|<1$ 或 $|z|>0.5$

常見的 z 轉換對應表

離散序列	z轉換	ROC
δ[n]	1	all z
δ[n-k]	$z^{-k}$	z≠0, k>0
𝜇[n]	$\frac{1}{1-z^{-1}}$ 或 $\frac{z}{z-1}$	$
-𝜇[-n-1]	$\frac{1}{1-z^{-1}}$ 或 $\frac{z}{z-1}$	$
$a^n𝜇[n]$	$\frac{1}{1-az^{-1}}$ 或 $\frac{z}{z-a}$	$
$-a^n𝜇[-n-1]$	$\frac{1}{1-az^{-1}}$ 或 $\frac{z}{z-a}$	$
$n𝜇[n]$	$\frac{z^{-1}}{(1-az^{-1})^2}$ 或 $\frac{z}{(z-1)^2}$	$
$n^2𝜇[n]$	$z^{-1}\frac{(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^3}$ 或 $\frac{z(z+1)}{(z-1)^3}$	$
$e^{-an}$	$\frac{1}{1-e^{-a}z^{-1}}$ 或 $\frac{z}{z-e^{-a}}$	$
$sinω_0n$	$\frac{z sinω_0}{z^2-2zcosω_0+1}$	$
$cosω_0n$	$\frac{z(z-cosω_0)}{z^2-2zcosω_0+1}$	$

z轉換的性質

線性運算原則

$Z\{αx_1[n]+βx_2[n]\} = αX_1(z) + βX_2(z)$

證明：

$Z\{αx_1[n]+βx_2[n]\} = \sum_{n=-∞}^{∞}(αx_1[n]+βx_2[n])z^{-n} \\ = α \sum_{n=-∞}^{∞}x_1[n]z^{-n}+β\sum_{n=-∞}^{∞}x_2[n]z^{-n} \\ = αZ\{x_1[n]\} + βZ\{ x_2[n] \} \\ = αX_1(z) + βX_2(z)$

時間延遲

若 x[n] 的 z 轉換為 X(z)，時間延遲 x[n-k] 的 z 轉換為

$Z\{x[n-k]\}=z^{-k}X(z)$

證明：

$Z\{x[n-k]\} = \sum_{-∞}^{∞}x[n-k]z^{-n} \\ = \sum_{j=-∞}^{∞}x[j]z^{-(j+k)} \quad\quad 假設 j=n-k, n=j+k \\ = \sum_{j=-∞}^{∞}x[j]z^{-j}z^{-k)} \\ = z^{-k} \sum_{j=-∞}^{∞}x[j]z^{-j} \\ = z^{-k} X(z)$

轉換函式

LTI 系統方塊圖

$y[n]=h[n]*x[n]$ 其中 $h[n]$ 稱為脈衝響應 (Impulse Response)

卷積定理也成立：

$Z\{y[n]\} = Z\{h[n]*x[n]\} = Z\{h[n]\} \cdot Z\{x[n]\}$

或 $Y(z) = H(z) * X(z)$

因此轉換函式(Transform Function) 或系統函式 (System Function)可表示為

$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)}$

零點與極點

LTI 的轉換函式，可以用有理式函數 (Rational Function) 的型態表示，讓分子與分母都是 $z^{-1}$ 的多項式函數

$H(z) = \frac{b_0+b_1z^{-1}+...+b_Mz^{-M}}{a_0+a_1z^{-1}+...+a_Nz^{-N}}$ 其中的係數包含 $\{a_k\}, k=0,1,2,...N$ 與 $\{b_k\}, k=0,1,2,...M$

系統的轉換函式可因式分解為：

$H(z) = \frac{b_0}{a_0}z^{N-M}\frac{\prod_{l=1}^{M}(z-z_l)}{\prod_{l=1}^{N}(z-p_l)}$

讓分子多項式為 0 的所有根，也就是 $z=z_l, l=1,2,...M$ ，稱為零點 Zeros

讓分母多項式為 0 的所有根，也就是 $z=p_l, l=1,2,...N$ ，稱為極點 Poles

$\frac{b_0}{a_0}$ 稱為系統的增益 gain

ex: 如 LTI 系統的轉換函式定義為 $H(z)=\frac{1}{1-z^{-1}}$ ，求收斂區域、零點、極點

$H(z)=\frac{1}{1-z^{-1}} = \frac{z}{z-1}$

ROC 為 $|z|>1$ ，零點為 z=0 (讓分子為0), 極點為 z=1 (讓分母為0)

定理：穩定系統與極點

若 LTI 系統的轉換函式 H(z) 可表示成有理式函數，則 LTI 系統為穩定系統，若且惟若 H(z) 的所有極點都落在複數平面的單位圓內。

換句話說：LTI 要是穩定系統的充要條件為：LTI 的轉換函式，所有極點都要落在複數平面的單位圓內。若條件不成立，則構成不穩定的 LTI 系統。上面範例中，極點落在單位圓上，因此是不穩定系統。

ex: 轉換函式 $H(z) = \frac{0.8-0.16z^{-1}-0.64z^{-2}}{1-0.2z^{-1}-0.2z^{-2}+z^3}$ ，求系統的零點、極點、增益

可使用 SciPy Signal 的 tf2zpk (Transfer Funciton to Zeros, Poles, Gain)

import numpy as np
import scipy.signal as signal
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import patches
from matplotlib.markers import MarkerStyle

def zplane(z, p):
    fig = plt.figure( )
    ax = plt.subplot( 1, 1, 1 )

    # 單位圓
    unit_circle = patches.Circle( ( 0,0 ), radius = 1, fill = False, color = 'black', ls = 'dashed' )
    ax.add_patch( unit_circle )

    # 軸線
    plt.axvline( 0, color = 'black' )
    plt.axhline( 0, color = 'black' )
    # 橫軸 -2~2
    plt.xlim( ( -2, 2 ) )
    # 縱軸 -1.5 ~ 1.5
    plt.ylim( ( -1.5, 1.5 ) )
    plt.grid( )

    # 畫上 zeros, ko 為圓圈
    plt.plot( z.real, z.imag, 'ko', fillstyle = 'none', ms = 12 )
    # 畫上 poles, ko 為叉叉
    plt.plot( p.real, p.imag, 'kx', fillstyle = 'none', ms = 12 )
    return fig

def main( ):
    # 分子的係數
    b = np.array( [ 0.8, -0.16, -0.64 ] )
    # 分母的係數
    a = np.array( [ 1, -0.2, -0.2, 1 ] )

    # 用 tf2zpk 找到 zeros, poles, gain
    z, p, k = signal.tf2zpk( b, a )

    print( "Zeros =", z )
    print( "Poles =", p )
    print( "Gain =", k )

    zplane( z, p )
    plt.show( )

main( )

執行結果

$ python tf2zpk.py
Zeros = [ 1.  -0.8]
Poles = [ 0.6+0.8j  0.6-0.8j -1. +0.j ]
Gain = 0.8

反過來可用 zp2tf，根據零點及極點，找到轉換函式的係數

import numpy as np
import scipy.signal as signal

z = np.array( [ -0.8, 1 ] )
p = np.array( [ 0.6 + 0.8j, 0.6 - 0.8j, -1 ] )
k = 0.8

b, a = signal.zpk2tf( z, p, k )

print( "Numerator Polynomial Coefficients =", b )
print( "Denominator Polynomial Coefficients =", a )

執行結果

$ python zp2tf.py
Numerator Polynomial Coefficients = [ 0.8  -0.16 -0.64]
Denominator Polynomial Coefficients = [ 1.  -0.2 -0.2  1. ]

反z轉換

反z轉換定義為：

$x[n]=Z^{-1}\{X(z)\} = \frac{1}{2πj} \oint_CX(z)z^{n-1}dz$ 其中 C 是封閉曲線，落在收斂區域中。

雖然公視是使用封閉曲線積分，實際的反z轉換運算，會採用以下三種方法：

長除法 long division method
部分分式展開法 partial fraction expansion method
餘數法 residue method

長除法

訊號或系統的 z 轉換，通常表示成兩個多項式相除的型態，因此可表示成幂級數 Power Series：

$X(Z) = \frac{N(z)}{D(z)} = \sum_{n=0}^{∞}a_nz^{-n} = a+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}+....$

其中 N(z) 是 Numerator 分子多項式，D(z) 是 Denominator 分母多項式。

求反 z 轉換時，可以使用長除法求幂級數的係數

ex: 訊號的 z 轉換函式如下，求反 z 轉換

$X(z)=\frac{1+z^{-1}+2z^{-2}-z^{-3}+3z{-4}}{1-z^{-1}+z^{-2}}$

$\begin{split} \\ &\underline {\ 1 \ +2^z{-1} \ +3^{z-2} \ } \\ 1 \ -z^{-1} \ +z^{-2}\big)& 1 \ +z^{-1} \ +2z^{-2} \ -z^{-3} \ +3z^{-4}\ \\ &\underline{1 \ -z^{-1} \ +z^{-2}\ \ \ \ \ \ }\ \\ & \ \ \ \ 2z^{-1} \ +z^{-2} \ -z^{-3} \ \ \\ &\underline{\ \ \ \ 2z^{-1} \ -2z^{-2} \ +2z^{-3}\ \ \ \ \ \ }\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3z^{-2} \ -3z^{-3} \ +3z^{-4} \ \ \\ &\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3z^{-2} \ -3z^{-3} \ +3z^{-4}\ \ \ \ \ \ }\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \\ \end{split}$

因此 X(z) 可化簡為 $X(z) = 1+2z^{-1}+3z^{-2}$

求反 z 轉換可得下列結果：

$x[n]=Z^{-1}\{X(z)\} = Z^{-1}\{1+2z^{-1}+3z^{-2}\} = δ[n]+2δ[n-1]+3δ[n-2]$

或 $x[n]=\{1,2,3\}$

若X(z) 定義為 $X(z) = \frac{b_0+b_1z^{-1}+...+b_Mz^{-M}}{a_0+a_1z^{-1}+...+a_Nz^{-N}}$

長除法可用遞迴方法計算：

$x[n]=[b_n-\sum_{i=1}^{n}x[n-i]a_i]/a_0, n=1,2,...$ ，其中 $x[0]=b_0/a_0$

import numpy as np

b = np.array( [ 1, 1, 2, -1, 3 ] )
a = np.array( [ 1, -1, 1, 0, 0 ] )

M = b.size
N = a.size
x = np.zeros( M )
x[0] = b[0] / a[0]
for n in range( 1, M ):
    sum = 0
    k = n
    if n > N:
        k = N
    for i in range( 1, k + 1 ):
        sum = sum + x[n-i] * a[i]
    x[n] = ( b[n] - sum ) / a[0]

print( x )

執行結果

$ python long_division.py
[1. 2. 3. 0. 0.]

部分分式展開法

如果 z 轉換中的分母多項式 D(z) 可進一步因式分解，則可使用部分分式展開法求反z轉換

ex: 訊號的 z 轉換 $X(z)=\frac{1}{1-3z^{-1}+2z^{-2}}$ ，求反z轉換

分母可分解為 $(1-z^{-1})(1-2z^{-1})$

因此可假設 $X(z)=\frac{1}{1-3z^{-1}+2z^{-2}}= \frac{A}{1-z^{-1}} + \frac{B}{1-2z^{-1}}$

A, B 為常數。通分後可得

$1=A(1-2z^{-1})+B(1-z^{-1})$

假設 $z=1$ ，則 $1=A(1-2)+B(1-1) \Rightarrow A=-1$

假設 $z=2$ ，則 $1=A(1-1)+B(1-1/2) \Rightarrow B=2$

因此 $X(z)= \frac{-1}{1-z^{-1}} + \frac{2}{1-2z^{-1}}$

求反z轉換

$x[n]=Z^{-1}\{X(z)\} = Z^{-1} \{ \frac{-1}{1-z^{-1}} + \frac{2}{1-2z^{-1}} \} \quad\quad 查表 \\ = -𝜇[n]+2 \cdot (2)^n𝜇[n] = [-1+2^{n+1}]𝜇[n]$

餘數法

反z轉換定義為：

$x[n]=Z^{-1}\{X(z)\} = \frac{1}{2πj} \oint_CX(z)z^{n-1}dz$ 其中 C 是包含 X(z) 所有極點的封閉曲線，落在收斂區域中。餘數法根據複變分析的柯西餘數定理 Cauchy's Residue Theorem。

柯西餘數定理 Cauchy's Residue Theorem：

$x[n]=Z^{-1}\{X(z)\} = \frac{1}{2πj} \oint_CX(z)z^{n-1}dz \\ = 封閉曲線C內所有極點，取 z^{n-1}X(z) 的餘數總和$

若 X(z) 某個極點 $P_k$ ，則該極點的餘數 Residue 為：

$Residue[F(z), P_k] = (z-P_k)F(z)|_{z=P_k} = (z-P_k)z^{n-1}X(z)|_{z=P_k}$

其中 $F(z)=z^{n-1}X(z)$

若訊號 z 轉換函式為 $X(z)= \frac{z}{(z-0.75)(z+0.5)}$ ，求反z轉換

因為 $z=0.75, z= -0.5$ 讓分母為 0，是 X(z) 的極點

當 $z=0.75 (P_1=0.75)$ 時

$Residue[F(z), P_1] = \\ =(z-P_1)z^{n-1}X(z)|_{z=P_1} \\ = (z-0.75)z^{n-1} \frac{z}{(z-0.75)(z+0.5)}|_{z=0.75} \\ = \frac{z^n}{(z+0.5)}|_{z=0.75} = \frac{(0.75)^n}{(0.75+0.5)} = \frac{4}{5}(0.75)^n$

當 $z=-0.5 (P_1=-0.5)$ 時

$Residue[F(z), P_2] = \\ =(z-P_2)z^{n-1}X(z)|_{z=P_2} \\ = (z+0.5)z^{n-1} \frac{z}{(z-0.75)(z+0.5)}|_{z=-0.5} \\ = \frac{z^n}{(z-0.75)}|_{z=-0.5} = \frac{(-0.5)^n}{(-0.5-0.75)} = -\frac{4}{5}(-0.5)^n$