Maxkit: 數位訊號

類比訊號透過取樣 sampling 與量化 quantization 兩個步驟，擷取數位訊號，並以數學表示法討論數位訊號。

數位訊號定義為：隨著時間改變的離散訊號，也稱為離散時間訊號 Discrete-Time Signals

自然界的訊號通常都是類比訊號，因此必須先透過類比/數位轉換器 Analog/Digital Converter, A/D Converter 將類比訊號轉成數位訊號，以便電腦系統處理。過程是根據類比訊號，在時間軸上擷取離散的樣本 samples，藉以產生數位訊號。x(t) 代表類比訊號，x[n] 代表數位訊號，t 為時間，n 是索引。

取樣與量化

取樣 sampling 可定義為 \(x[n]=x(nT_s)\)，\(T_s\) 稱為取樣週期 sampling period 或取樣間隔 sampling interval，單位為 second，另外 \(f_s=\frac{1}{T_s}\) 稱為取樣頻率 sampling frequency，或取樣率 sampling rate

取樣是訊號在時間軸上的數位化過程，每隔 \(T_s\) 時間，擷取一個樣本 sample，產生一個數字序列，因每個樣本來自短暫的時間框，也稱為音框 frame

取樣率 sampling frequency 解釋為：每秒取樣的次數。由於取樣頻率固定不變，又稱為均勻取樣 Uniform Sampling

ex: 弦波 \(x(t)=A cos(ωt+ϕ) = Acos(2 \pi ft+ϕ)\) ，若取樣週期 \(T_s\)，取樣頻率 \(f_s\)，則弦波的數位訊號可表示為

\(x[n]=x(nT_s)=A cos(2 \pi fnT_s+ϕ)=A cos(2 \pi fn/f_s+ϕ)\)，n為整數

通常可假設 \(\hat{ω} = 2 \pi f/f_s\) 稱為正規化角頻率 Normalized Angular Frequency，單位是弧度 Radians，因此數位訊號也可表示為

\(x[n] = A cos(\hat{ω}n+ϕ)\)

Nyquist-Shannon 取樣定理

假設原始訊號為頻帶限制訊號 Band-Limited Signal，最高頻率為 \(f_H\)，若取樣頻率為 \(f_s\) ，則 \(f_s > 2 f_H\) 時，才能保證可重建原始訊號

若取樣頻率超過原始訊號的最高頻率的兩倍，可充分表示原始訊號，如取樣頻率不足，會產生混疊 aliasing 現象。

ex: 人類聽力範圍 20Hz ~ 20k Hz，最高為 20kHz，如果 \(f_s>40kHz\) 可充分表示人類可感知的原始訊號。目前 mp3 通常設定為 44kHz or 48kHz，符合基本條件，不會發生 aliasing

根據取樣定理，取樣頻率決定了可取樣的原始最高頻率，又稱為 Nyquist 頻率。例如取樣頻率 44kHz，則 Nyquist 頻率為 22kHz

量化 Quantization

量化是將訊號的振幅 Amplitude 經過數位化轉換為數值，常用的數值範圍：

8 bits: 0~255 or -128~127
16 bits: -32768 ~ 32767

每個樣本可使用的位元數稱為位元解析度 bit resolution，或稱為位元深度 bit depth。

數學表示法

\(x=\{x[n]\}, -∞<n<∞\)，n 為整數

DSP 系統中，數位訊號通常為有限 finite 數字序列，可表示為

\(x=\{x[n]\}, n=0,1,2..., N-1\) ，這是從 t=0 開始的樣本，N為樣本數

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

n = np.array( [ 0, 1, 2, 3, 4, 5 ] )    # 定義n陣列
x = np.array( [ 1, 2, 4, 3, 2, 1 ] )    # 定義x陣列

plt.stem( n, x, use_line_collection=True )                      # 繪圖
plt.xlabel( 'n' )
plt.ylabel( 'x[n]' )
plt.show( )

基本的數位訊號

單位脈衝函數

Unit Impulse Function 也稱為狄拉克 δ 函數 (Dirac Delta Function)，以英國物理學家 Paul Dirac 命名，定義：

\(δ(t)=0, t \neq 0\) ，且 \(\int_{-∞}^{∞}δ(t) {\rm d}t = 1\)

單位脈衝函數是連續時間函數，除了原點 t=0 以外，函數值均為 0，在時間域的積分(總面積)為 1，且集中在原點

單位脈衝

在離散時間域的 Unit Impulse 定義為

\( δ[n] = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & \mbox{if n=0} \\ 0, & \mbox{if n≠0} \end{array} \right.\)

單位步階函數

Unit Step Function 也稱為黑維塞步階函數 (Heaviside Step Function)，以英國科學家 Oliver Heaviside 命名，定義為

\( μ(t) = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & \mbox{if t ≥0} \\ 0, & \mbox{if t<0} \end{array} \right.\)

單位步階

Unit Step 定義為

\( μ[n] = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & \mbox{if n ≥0} \\ 0, & \mbox{if n<0} \end{array} \right.\)

單位脈衝的時間延遲 Time Delay 定義為 \(δ[n-n_0]\)

ex: \(δ[n-2]\) 的圖形為

因此 Unit Step 也可表示為

\( μ[n] = δ[n]+δ[n-1]+δ[n-2]+... = \sum_{k=0}^{n}δ[n-k]\)

單位脈衝 Unit Impulse 也可表示為

\(δ[n]=μ[n]-μ[n-1]\)

任意數位訊號都可以用單位脈衝表示為

\(x[n]=...+x[-1]δ[n+1]+x[0]δ[n]+x[1]δ[n-1]+... = \sum_{k=-∞}^{∞}x[k]δ[n-k]\)

數位語音檔

波型音訊檔案格式 Waveform Audio File Format、wave，是 Microsoft 與 IBM 制定的音訊編碼格式。另外 Apple Mac 定義了 aiff 音訊格式。

wav 是根據 Resource Interchange File Format(RIFF) ，為了存取 CD 數位音樂而設計的。前面是 header 共44 bytes，內容由多個區塊 chunks 組成，每個區塊是 4 bytes

起始位址(Bytes)	位址範圍	區塊名稱	區塊大小 ( Bytes)	內容	說明
0	1 ~ 4	區塊編號	4	RIFF	Marks the file as a riff file.
4	5 ~ 8	總區塊大小	4	N + 36	File size (integer) Size of the overall file - 8 bytes
8	9 ~ 12	檔案格式	4	"WAVE"	File Type Header. For our purposes, it always equals "WAVE".
12	13~16	子區塊 1 標籤	4	"fmt "	Format chunk marker. Includes trailing null
16	17~20	子區塊 1 大小	4	16	Length of format data as listed above
20	21~22	音訊格式	2	1(PCM)	Type of format (1 is PCM)
22	23~24	通道數量	2	1: (mono), 2: stereo	Number of Channels
24	25~28	取樣頻率	4	Hz	Sample Rate, Common values are 44100 (CD), 48000 (DAT). Sample Rate = Number of Samples per second, or Hertz
28	29~32	位元組 ByteRate	4		ByteRate = (Sample Rate * BitsPerSample * Channels) / 8 取樣頻率 * 位元深度 / 8
32	33~34	區塊對齊 BlockAlign	2	4	(BitsPerSample * Channels) / 8 The number of bytes for one sample including all channels ex: 1 -> 8 bit mono, 2 -> 8 bit stereo/16 bit mono, 4 -> 16 bit stereo
34	35~36	位元深度	2	16	Bits per sample
36	37~40	子區塊2標籤	4	"data"	"data" chunk header. Marks the beginning of the data section.
40	41~44	子區塊2大小	4	N	Size of the data section, i.e. file size - 44 bytes header.
44	45~	資料	N		音訊資料

wav 沒有採用壓縮技術，檔案大小比其他格式大，但 wav 不會發生失真的狀況。

import wave

filename = input( "Please enter file name: " )
wav = wave.open( filename, 'rb' )

num_channels = wav.getnchannels( )  # 通道數
sampwidth   = wav.getsampwidth( )   # 樣本寬度
frame_rate  = wav.getframerate( )   # 取樣率
num_frames  = wav.getnframes( )     # 音框數
comptype    = wav.getcomptype( )    # 壓縮型態
compname    = wav.getcompname( )    # 壓縮名稱

print( "Number of Channels =", num_channels )
print( "Sample Width =", sampwidth )
print( "Sampling Rate =", frame_rate )
print( "Number of Frames =", num_frames )
print( "Comptype =", comptype )
print( "Compname =", compname )

wav.close( )

要讀取 wav 的資料，可改用 SciPy 的 io.wavfile 套件，讀取後以 numpy 的陣列回傳

from scipy.io import wavfile
import matplotlib.pyplot as plt

filename = input( "Please enter file name: " )
sampling_rate, x = wavfile.read( filename )

plt.plot( x )
plt.xlabel( 'n' )
plt.ylabel( 'Amplitude' )

plt.show( )

可直接取得 microphone 語音的波形

pip install PyAudio

import numpy as np
import pyaudio
import matplotlib.pyplot as plt

# sampling rate
fs = 11000
# 每次擷取樣本數 1024
CHUNK = 1024
pa = pyaudio.PyAudio( )
stream = pa.open( format = pyaudio.paInt16, channels = 1, rate = fs, 
                  input = True, output = False, frames_per_buffer = CHUNK )
            
try:            
    while True:                     
        data = stream.read( CHUNK )
    # 字串轉換為 int16
        x = np.fromstring( data, np.int16 )

        plt.clf( )
        plt.plot( x )
        plt.axis( [ 0, CHUNK, -30000, 30000 ] )

        plt.pause( 0.1 )

except KeyboardInterrupt:
    print( "Quit" )
    pa.close( stream )
    quit( )